薇拉引导安娜在以太网布设器中找到一个内置函数ξ(t),向安娜介绍这就是技术上雷米特弹道的模型。“你不需要边打边用法力去微调,直接调用它,以太网布设器就会像计算机一样执行我们想要的结果。”
安娜盯着界面上那个简洁的符号,有些难以置信:“就这么简单?调用一个函数?”
“技术发展到一定程度,复杂的东西就应该被封装成简单的接口。”薇拉的语气平淡,“雷米特弹道的核心思想,不是让你在施法时手动构造每一个转折,而是让你理解它为什么有效。”
她抬手在空中划出一条闭合的曲线,起点和终点重合。
“先看一个数学上的例子:科赫雪花。”薇拉指着那条曲线,“你知道它最特别的性质是什么吗?”
安娜想了想:“周长无限,面积有限?”
“那是初中生都知道的常识。”薇拉轻轻摇头,“对于弹道来说,更重要的是另一个性质:它处处不可导。”
她手指一点,曲线放大,里面出现更细的曲折;再放大,还有;再放大,无穷无尽。
“科赫雪花的每一点都是转折点。如果你用微分去描述它,在任何尺度上都会失败。雷米特弹道的位移-时间函数,借鉴的就是这种思路——虽然它不是无限精细,而是有一个最小尺度,那个尺度由系统的魔力操控精度决定。但在那个尺度之外看,它和科赫雪花一样:处处不可导,处处转折。”
安娜若有所思地点点头。
薇拉调出另一个界面,上面出现了一条平滑的抛物线,旁边标注着“拉普拉斯防御系统模拟”。
“拉普拉斯防御的本质,是用有限的差分去拟合轨迹,然后找出‘割线’——也就是轨迹可能经过的位置,提前设下拦截。”薇拉的手指在抛物线上划过,几个光点出现,连成虚线,“精度越高,采样越密,拟合阶数越高,割线间距越小。”
她话锋一转:“但如果面对的是雷米特弹道,情况就复杂了。”
界面上换成了那条科赫雪花似的曲线。薇拉让防御系统以不同精度去模拟,结果高精度版本疯狂闪烁,始终无法稳定预测;低精度版本反而偶尔能画出几条割线,恰好截住了曲线经过的某个位置。
“这里有一个关键的分界。”薇拉指着两种结果,“如果防御系统的精度高于雷米特弹道本身的精度,它就能完全解析弹道,直接拦截。但如果防御系统的精度低于弹道本身的精度,结果就不一定了——有些弹道反而能被低精度系统拦住,有些则不能。”
安娜盯着屏幕上那几种情况,脑子里开始浮现数学课上的那些极限概念。
“为什么?”她问。
薇拉没有直接回答,而是让界面回到科赫雪花,然后把防御系统的精度调到很低——割线变得稀疏,间距很大。
“你看,低精度系统因为采样稀疏,对中间的曲折视而不见,它只关心几个关键点。如果雷米特弹道的设计者不知道系统的具体精度,那么他构造的弹道就有可能在某次转折后,恰好撞上某条粗大的割线。”
安娜的瞳孔微微收缩。她明白了——这不是精度越高越好的问题,而是尺度匹配的问题。
“这就是‘大巧若拙’。”薇拉的声音轻得像风,“最精巧的设计,反而弱于某种看似笨拙的反制。”
她转过身,看着安娜。
“所以,我给你的作业是:证明或证伪——是否存在一种雷米特弹道构造,使得对于任意精度低于该弹道自身精度的拉普拉斯防御系统,该弹道都能绕过拦截。”
安娜张了张嘴,一时不知该说什么。
“这不是魔法练习,是数学练习。”薇拉的语气平静,却带着一种不容置疑的笃定,“你不需要魔力,不需要以太节点,只需要纸、笔,和脑子里的逻辑。”
安娜低头看着手中那块石头,沉默了几秒。她想起大学时那些浮光掠影的教材,想起刚才科赫雪花在脑子里勾起的回忆。
“我会试试的。”她抬起头,思索着这看似反常的现象,和证明它内部所有的矛盾——更低的精度可能会碰巧拦截到更高精度无法拦截的目标,那么对所有低于自身的精度都能突破的目前似乎是矛盾的。
薇拉的嘴角微微弯了一下,那弧度淡得几乎看不见,语气中仿佛洞穿了安娜的心思——“我需要提示你一下,哲学只能是消化理解的工具,在具体的数学问题上上升到哲学不会有更本质的洞见,只会因为思维上的懒惰而看不清很多本来清晰的东西。”
安娜的思考开始变得锋利。
拉普拉斯防御的本质是差分方程,在第一回合,它就是割线预判——系统在轨迹上取点,作割线,提前设防。如果低精度防御能拦住雷米特弹道,那说明那条割线本身会再度经过图形。换句话说,被拦截的弹道在某个尺度上呈现“凹集”的性质:存在两个点,它们连成的直线还会与图形相交于别处。
低精度防御的“碰巧”,本质上就是碰上了这种凹性。
那么要让雷米特弹道通过第一回合——即不被任何低于自身精度的防御“碰巧”拦住——它的闭合法力路径部分就必须满足一个条件:其上任意两点所在直线,与该图的交点有且仅有这两个。
这正是凸集的定义。
如果雷米特弹道是凸的,那么任何割线都只能触及它的边界两次,一次进,一次出。没有第三次,没有多余的相交,也就没有“碰巧”被截住的空间。
但雷米特弹道要效仿非平凡分形,要有转折,这就会与凸集要求产生冲突。可如果不要求去突破更高精度的话也不用分形,薇拉这题还真是封死了一眼看出答案的可能性。
也许在薇拉眼中,不存在可以突破任意精度的拉普拉斯防御的弹道是显然的。真正的困难是只考虑低精度时更多回合的拦截博弈。
安娜想了一会儿,无奈地笑到:“我倒是得出了一个副产物:任意的雷米特弹道,都存在一个精度的拉普拉斯防御可以在第一回合就防住它。因为第一回合防御系统收集的数据只能做出割线预测,至于后面的回合中,它的系统内部可能会有各种修正,那就不是简单的割线预判了,心算不了一点……”